1. La legge di Keplero e di gravitazione

1. La legge di Keplero e di gravitazione

1. Il modello copernicano

Nicolò Copernico, accogliendo l’ipotesi avanzata da Aristarco di Samo nel III secolo a.C., elaborò la teoria eliocentrica dei moti celesti, che espose nel De revolutionibus orbium coelestium, un’opera destinata a produrre conseguenze epocali.

Nel sistema copernicano il Sole è immobile al centro e attorno ad esso ruotano i pianeti, compresa la Terra. Quest’ultima non è più dunque immobile al centro dell’universo, ma compie una rivoluzione attorno al Sole in un anno e una rotazione sul proprio asse in 24 ore.

Per Copernico, il moto diurno degli astri da est ad ovest è dunque apparente, essendo generato dal moto di rotazione terrestre in senso contrario; anche il moto annuo del Sole lungo l’eclittica è apparente, dato che è in realtà prodotto dal moto di rivoluzione terrestre. Infine, anche il moto retrogrado dei pianeti è apparente. Gli antichi, infatti, assumendo la Terra immobile, ritenevano che ciascun pianeta si muovesse su un cerchio, detto epiciclo, il cui centro, a sua volta, si muoveva attorno alla Terra su un cerchio più grande, detto deferente. Nel sistema copernicano, invece, entrambi i moti si sviluppano attorno al Sole, ma uno solo di essi appartiene al pianeta, mentre l’altro è costituito dal moto terrestre di rivoluzione. La composizione dei due moti genera l’apparente retrocessione dell’astro.

Copernico, come i suoi predecessori, credeva all’esistenza di orbi solidi cristallini su cui i pianeti sarebbero stati incastonati. Inoltre, egli rimase fedele all’assioma della circolarità e uniformità dei moti celesti e dovette pertanto adottare complesse combinazioni di cerchi, che rendevano il suo sistema tecnicamente non meno complesso di quello tolemaico. Nel suo insieme, tuttavia, la sua nuova concezione sembrava finalmente mostrare la perfetta armonia del cosmo: sei pianeti che ruotano attorno al Sole tutti e sempre nella stessa direzione.

Il modello copernicano, con il sistema di riferimento celeste spostato dalla Terra al Sole, non trovò immediatamente pieno consenso. Nel 1616 addirittura la Chiesa cattolica condannò l’opera di Niccolò Copernico in quanto ritenuta contraria alle Sacre Scritture, le quali ponevano l’uomo al centro del piano divino e quindi la Terra al centro dell’Universo. 

La teoria proposta da Niccolò Copernico, inaccettabile per la maggior parte dei filosofi e teologi a lui contemporanei, fu sostenuta negli anni successivi, oltre che dagli studi di Galileo Galilei, anche dalle leggi formulate da Giovanni Keplero (1571-1630) sulla base delle osservazioni condotte da Brahe. 

Trovò infine piena accettazione nel 1687, con la pubblicazione del Philosophiae naturalis principia mathematica di Newton (1642-1727) che rivelò come le leggi di Keplero, dedotte dall’osservazione, fossero casi particolari della legge di gravitazione universale, che descrive l’interazione tra tutti i corpi.   

2. Leggi di Keplero

L’Universo di Keplero è eliocentrico, cioè considera il Sole immobile e i pianeti che ruotano intorno ad esso, ma la posizione del Sole non è più centrale e le orbite dei pianeti non sono perfettamente circolari.

La prima legge di Keplero riguarda la forma dell’orbita descritta dai pianeti intorno al Sole:

I pianeti si muovono intorno al Sole percorrendo orbite ellittiche. Il Sole occupa uno dei fuochi dell’ellisse.

La legge di Keplero e di gravitazione
Prima legge di Keplero, Fonte: https://it.openprof.com/

La più importante conseguenza della prima legge di Keplero riguarda il fatto che per ogni pianeta nel corso del proprio moto di rivoluzione, si troverà vicino o lontano dal Sole. La distanza che può assumere al massimo un pianeta dal Sole viene chiamata afelio, mentre la distanza minima dal Sole viene chiamata perielio

Un’altra conseguenza che va a definire la prima legge di Keplero è l’eccentricità

L’eccentricità per definizione è il rapporto tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore, e se e=0 abbiamo una circonferenza mentre se e=1 abbiamo un segmento: 

e = c/a

La seconda legge di Keplero regola la velocità orbitale di un pianeta. Questa velocità non è costante ma in un moto circolare uniforme.

Il raggio vettore che unisce il sole al pianeta orbitante descrive aree uguali in tempi uguali

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Secondalegge di Keplero, Fonte: https://onthestar.wordpress.com/

Poiché il raggio vettore spazza aree uguali nello stesso tempo, durante la rotazione di un pianeta intorno al Sole, esso si muoverà più rapidamente quando si trova vicino al Sole mentre si muoverà più lentamente quanto è lontano. Quindi la velocità di un pianeta varia in orbita al sole in base a afelio e perielio.

Durante il moto di rivoluzione, il pianeta mantiene la velocità costante areolare, ovvero la velocità con cui il raggio vettore spazza le aree nell’unità di tempo.

Grazie a questa proprietà avremo che al perielio avrà velocità massima, mentre all’afelio avrà velocità minima. L’eccentricità implica che i 2 percorsi, visti in figura in alto, AB e CD vengano fatti dal pianeta nello stesso intervallo di tempo. 

Per descrivere in formule la legge possiamo indicare ∆S l’area spazzata dal raggio vettore e ∆T la durata dell’intervallo di tempo impiegato a descriverla:

∆S/∆T = costante

La terza legge di Keplero definisce il periodo di tempo impiegato da un pianeta a compiere un’orbita completa.

Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti

Se indichiamo con a il semiasse maggiore e con T il periodo, questa legge è espressa dalla formula:

T2 = ka3

Dove k è una costante di proporzionalità che può essere ricavata come sempre ricorrendo alle leggi di Newton.

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Terza legge di Keplero, Fonte: https://library.weschool.com/

3. Legge di gravitazione Universale

La legge formulata da Newton afferma:

Due corpi dotati di massa si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa.

In formula:

F = G(m1m2/d2)

Dove m1 e m2 sono le due masse, mentre d è la distanza tra i due punti materiali e G la costante di proporzionalità.

La costante G è pari circa a 6,6710-11 Nm2/kg2.

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Legge di gravitazione UniversaleFonte: https://redooc.com/

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